การเคลื่อนที่แบบหมุน
การเคลื่อนที่แบบหมุน
Rotational motion
- ปริมาณต่างๆที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบหมุน
(1)อัตราเร็วเชิงมุม (angular speed)
อัตราเร็วเชิงมุม (ω) ในที่นี้หมายถึง ค่าอัตราเร็วเชิงมุมขณะใดขณะหนึ่งหรือค่าอัตราเร็วเชิงมุมเฉลี่ยของการเคลื่อนที่ในช่วงเวลาสั้นๆ โดยหาได้จากสมการ
ω = ∆Ɵ
∆t
เมื่อ ω คือ อัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุที่หมุนรอบแกนหมุน มีหน่วยเป็นเรเดียน/วินาที
∆Ɵ คือ มุมที่วัดกวาดไปในช่วงเวลาสั้นๆ ∆t
(2)ความเร็วเชิงมุม (angular velocity)
ความเร็วเชิงมุม (ϖ) หมายถึง การกระจัดเชิงมุม (∆Ӫ)ที่เปลี่ยนไปในเวลาหนึ่งหน่วย ซึ่งเขียนสมการได้ว่า
ϖ = ∆Ӫ
∆t
การหาทิศทางการกระจัดเชิงมุม (∆Ӫ) และความเร็วเชิงมุม(ϖ) หาได้จากการใช้มือขวากำรอบแกนหมุนให้นิ้วทั้งสี่ (ชี้กลางนางก้อย) ชี้วนไปทางเดียวกับทิศทางการหมุน นิ้วหัวแม่มือทาบไปตามแกนหมุนจะได้ว่าทิศของการกระจัดเชิงมุม (∆Ӫ) และความเร็วเชิงมุม (ϖ) จะชี้ตามแนวชี้ของนิ้วหัวแม่มือ
ความเร็วเชิงมุม (ϖ) เป็นปริมาณเวกเตอร์จะมีทิศทางเดียวกับ ∆Ӫ หน่วยของความเร็วเชิงมุมเป็นเรเดียน/วินาที (rad/s)
(3)ความเร่งเชิงมุม (angular acceleration)
ความเร่งเชิงมุม (ᾱ) หมายถึง ความเร็วเชิงมุมที่เปลี่ยนไปในเวลาหนึ่งหน่วย ดป็นปริมาณเวกเตอร์ซึ่งเขียนเป็นสมการได้ว่า
ᾱ = ∆ϖ
∆t
หน่วยของความเร่งเชิงมุมเป็นเรเดียน/วินาทีกำลังสอง
ในการหมุนของวัตถุรอบแกนหมุนคงตัวเมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของมวลย่อยแต่ละก้อนของวัตถุจะมีการเคลื่อนที่แบบวงกลม จะได้ว่ามวลย่อยๆ แต่ละก้อนของวัตถุที่กำลังหมุนมีความเร็วเชิงมุม ϖ ในการหมุนเท่าๆนั้น
2. ทอร์กกับการเคลื่อนที่แบบหมุน
จากความรู้เดิมในเรื่องของโมเมนต์ เราจะเรียกโมเมนต์ของแรงรอบจุดหมุนว่า ทอร์ก โดนทอร์กเป็นปริมากเวกเตอร์มีขนาดเท่ากับ แรงคูณระยะทางที่ลากจากจุดหมุนมาตั้งฉากกับแนวแรงและทิศทางของทอร์กมีทิศตั้งฉากกับระนาบการหมุน
การหาทิศทางของทอร์ก (Ʈ) ทำได้โดยใช้มือขวาในลักษณะกาง นิ้วชี้ นิ้วกลางและนิ้วหัวแม่มือให้ตั้งฉากซึ่งกันและกัน แล้ววางนิ้วชี้ตามแนวรัศมี (r) พุ่งออกจากจุดหมุน ส่วนนิ้วกลางวางแนวชี้ไปทางทิศของแรง (F) จะได้ว่านิ้วหัวแม่มือ ชี้ทิศทางของทอร์ก
จากนิยาม Ʈ = Fr
เมื่อ F คือ แรงที่กระทำต่อวัตถุในทิศตั้งฉากกับรัศมีของการหมุน หน่วย นิวตัน
r คือ รัศมีของการหมุนของวัตถุ หน่วย เมตร
Ʈ คือ ทอร์กของแรง หน่วย นิวตัน.เมตร
เมื่อมีแรง Ft มากะทำต่อมวล m ในทิศตั้งฉากกับแท่งวัตถุเล็กๆ ตลอดเวลาโดยแนวแรง Ft สัมผัสกับแนววงกลมหรือตั้งฉากกับรัศมี r
จากฎข้อ 2 ของนิวตัน
Ft = mat
หรือ Ft . r = matr ..........(1)
ถ้าภายในช่วงเวลาสั้นๆ ∆t ขนาดของความเร็วในแนวเส้นสัมผัสเปลี่ยนไป ∆v และขนาดของความเร็วเชิงมุมเปลี่ยนไป ∆ω จะได้ว่า
∆v = r∆ω (v = ωr )
หรือ ∆ v = r ∆ ω
∆t ∆t
ดังนั้น at = rα
แทนค่า at ใน (1) จะได้ว่า
Ft . r = mr2α ................. (2)
จากนิยามของทอร์ก Ʈ = Ft.r
จึงได้ว่า Ʈ = mr2α
และ α = Ʈ
mr2
แสดงว่าเมื่อใช้ทอร์กค่าหนึ่งกระทำต่อวัตถุ ถ้าวัตถุมีค่า mr2 มากจะหมุนโดยมีความเร่งเชิงมุม (α) น้อยค่า mr2 จึงบอกถึงสมบัติการต้านการเปลี่ยนแปลงสภาพการหมุนหรือความเฉื่อยของการหมุนของวัตถุ ซึ่งเรียกว่า โมเมนต์ความเฉื่อย ( I) จึงได้ว่า
I = mr2
โมเมนต์ความเฉื่อยเป็นปริมาณสเกลาร์มีหน่วยเป็นกิโลกรัมเมตรกำลังสอง
ดังนั้น ค่าทอร์ก อาจเขียนใหม่ได้ว่า
Ʈ = Iα
จากสมการที่ได้พบว่าทอร์ก และความเร่งเชิงมุม มีทิศทางเดียวกัน
จากการศึกษาในขั้นสูงขั้นต่อไปพบว่า ค่าโมเมนต์ความเฉื่อยขึ้นอยู่กับมวลและการกระจายของมวลและที่สำคัญอย่างยิ่ง คือ แกนหมุน ดังนั้น การบอกค่าโมเมนต์ความเฉื่อยต้องบอกด้วยว่าหมุนรอบแกนใด
3. โมเมนตัมเชิงมุมและกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
ในการทดลองการหมุนของวัตถุพบว่า ดารรักษาสภาพการหมุนของวัตถุขึ้นอยุ่กับความเร็วเชิงมุมและโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุ
ปริมาณที่บอกถึงการรักษาสภาพการหมุนของวัตถุ เรียกว่า โมเมนตัมเชิงมุม (L) มีค่าเท่ากับ ผลคูณระหว่างโมเมนต์ความเฉื่อย (I) กับความเร็วเชิงมุม (ω) จึงเขียนเป็นสมการได้ว่า
L = Iω
โมเมนตัมเชิงมุม(L)เป็นปริมาณเวกเตอร์ มีทิศทางเดียวกับความเร็วเชิงมุม (ω)
(1)ความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมเชิงมุมกับโมเมนตัมเชิงเส้น
เนื่องจากโมเมนตัมเชิงมุมเป็นปริมาณที่บอกถึงสภาพการหมุนของวัตถุ ซึ่งความกับโมเมนตัม (P) หรืออาจเรียกว่าโมเมนตัมเชิงเส้น ซึ่งเป็นปริมาณที่บอกถึงสภาพการเคลื่อนที่ของวัตถุในแนวเส้นตรง เราอาจหาความสัมพันธ์ของปริมาณทั้งสองได้จากสมการที่ศึกษามาแล้วข้างต้น
จาก Ʈ = F . r
= mar
= m(v2-v1)r .......(1)
t2-t1
t2-t1
และ Ʈ = Iα .........(2)
ได้ว่า (1) = (2) ; m(v2-v1)r = Iα
t2-t1
m(v2-v1)r = I(ω2 –ω1)
t2-t1 t2 –t1
∆mvr = ∆Iω
ได้ว่า mvr = Iω = L
ดังนั้น L = mvr
จึงได้ว่า โมเมนตัมเชิงมุมมีค่าเท่ากับโมเมนต์ของโมเมนตัมเชิงเส้น
(2.) ความสัมพันธ์ระหว่างทอร์กกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุม
จาก Ʈ = Iα
หรือ Ʈ = I(∆ω)
∆t
เมื่อ I คงตัว จะได้ Ʈ = ∆(Iω)
∆t
หรือ Ʈ = ∆L
∆t
จากสมการที่ได้อาจกล่าวได้ว่า ทอรืกมีค่าเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุม
(3) กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
จาก Ʈ = Iα
เมื่อ Ʈ = 0 , α = ω2-ω1
t2-t1
ได้ว่า 0 = I(ω2-ω1)
t2-t1
เมื่อ I ไม่เป็นศูนย์ดังนั้น
ω1 = ω2
แสดงว่าเมื่อ โมเมนตัมความเฉื่อยมีค่าคงตัว แล้วทอร์กที่มากระทำต่อวัตถุเป็นศูนย์ วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงมุมคงตัว ซึ่งคล้ายกับการเคลื่อนที่แนวตรง เมื่อแรงลัพธ์ที่มากระทำต่อวัตถุเป็นศูนย์วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัว
นอกจากนี้ทอร์กยังมีความสัมพันธ์กับโมเมนตัมเชิงมุมอีกด้วย
จาก Ʈ = ∆L
∆t
เมือ Ʈ = 0 ได้ว่า
0 = ∆ L
∆ t
ดังนั้น ∆L = 0
หรือ L2 - L1 = 0
ได้ว่า L1 = L2
จาก L = Iω ดังนั้น
I1ω1 = I2ω2
จากความสัมพันธ์ที่ได้อาจสรุปได้ว่า เมื่อทอร์กหรือผลรวมของทอร์กที่กระทำต่อวัตถุที่กำลังหมุนเท่ากับศูนย์วัตถุจะหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงตัว นอกจากนี้วัตถุจะมีโมเมนตัมเชิงมุมคงตัวด้วย ซึ่งเรียกความสัมพันธ์นี้ว่า กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
4. พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน
เมื่อพิจารณาวัตถุซึ่งประกอบด้วยมวลย่อยๆ คือ m1 , m2 ,..,mn หมุนรอบแกนโดยมวลแต่ละก้อนมีการเคลื่อนที่เป็นแนววงกลม ถ้าพิจารณา ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง มวลแต่ละก้อนจะมีความเร็วต่างกันเป็น V1,v2,...,vn ทำให้มวลย่อยแต้ละก้อนมีพลังงานจลน์เป็น 1 m1v12 , 1m2v22 , 1mnvn2
2 2 2
ถ้าให้ Ek เป็นพลังงานจลน์รวมของมวลย่อย จะได้ว่า
Ek = 1m1v12 +1m2v22+ ..... +1mnvn2
2 2 2
= Ʃ (1mivi2)
2
= 1 Ʃmi(ωri)2
2
Ek = 1Ʃ(miri2)ω 2
2
จาก Ʃ(miri2) = I
ดังนั้น Ek = 1Iω2
2
เมื่อ I คือ โมเมนต์ความเฉื่อยของการหมุน
ω คือ ความเร็วเชิงมุมของการหมุน
Ek คือ พลังงานจลน์ของการหมุน
5. การเคลื่อนที่ทั้งแบบเลื่อนตำแหน่งและหมุน
การเคลื่อนที่ของวัตถุบางครั้งอาจมีการเคลื่อนที่แบบเลื่อนตำแหน่งร่วมกับการเคลื่อนที่แบบหมุนด้วย เช่น การเคลื่อนที่ของลูกบอก ลูกกอล์ฟ ลูกเทนนิส ลูกปิงปอง ล้อรถจักรยาน ซึ่งเป็นการหมุน รอบจุดศูนย์กลางมวล (เมื่อเคลื่อนที่อย่างอิสระ) และเป็นการหมุนรอบแกนคงตัว
เมื่อพิจารณาค่าพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบกลิ้งของวัตถุจึงมีค่าเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่ทั้งสองแบบคือ
พลังงานจลน์ของการกลิ้ง = พลังงานของการเคลื่อนที่แบบเลื่อนตำแหน่ง + พลังงานของการเคลื่อนที่แบบแบบหมุน
ดังนั้น Ek(กลิ้ง) = 1 mv2 + 1 Iω2
2 2
6. การทำงานในการหมุน
ในการหมุนของวัตถุที่ไม่เปลี่ยนทิศของแกนหมุน เมื่อมีทอร์กคงที่กระทำโดยมีแกนหมุนคงตัว ย่อมทำให้พลังงานจลน์ของการหมุนเปลี่ยนแปลง ซึ่งคล้ายกับการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของวัตถุเมื่อมีงานมากระทำต่อวัตถุนั้น ดังนั้น งานของทอร์กคงที่ประทำต่อวัตถุ จึงมีค่าเท่ากับ พลังงานจลน์ของการหมุนที่เปลี่ยนไป เขียนเป็นสมการได้ว่า
W = ∆Ek
= 1 Iω2 - 1 Iω๐2
2 2
= I (ω2 - ω๐2)
2
= I (2 αƟ)
2
= (Iα)Ɵ
W = ƮƟ
จากสมการที่ได้แสดงว่า เมื่อมีทอร์กขนาดคงที่กระทำต่อวัตถุทำให้การกระจัดเชิงมุมเปลี่ยนไป (Ɵ) จะทำให้เกิดงานของการหมุน (W)
นอกจากนี้ ยังสามารถหากำลังในการหมุนได้จากนิยามกำบังในการหมุน คือ อัตราการทำงานในการหมุน หรือ งานที่ทำได้ในเวลา 1 หน่วย เขียนเป็นสมการได้ว่า
P = W
t
= ƮƟ ( Ɵ = ω)
t t
P = Ʈω
เมื่อ Ʈ คือ ทอร์กคงที่กระทำต่อวัตถุ
ω คือ อัตราเร็วเชิงมุมของการหมุน
P คือ กำลังของการหมุน
การเปรียบเทียบปริมาณเชิงเส้นกับปริมาณเชิงมุม
ในการศึกษาการเคลื่อนที่แบบหมุน พบว่าปัญหาในการจำสูตรการคำนวณ ค่อนข้างยาก เราจึงอาจใช้สูตรในการเคลื่อนที่แนวตรงมาเทียบเคียงให้จำได้ง่ายขึ้น โดยการเปรียบเทียบปริมาณเชิงเส้นกับเชิงมุม
- การกระจัดเชิงเส้น (s) = การกระจัดเชิงมุม (Ɵ)
- ความเร็วเชิงเส้น (v) = ความเร็วเชิงมุม (ω)
- ความเร่งเชิงเส้น (a) = ความเร่งเชิงมุม (α)
- มวล(ความเฉื่อย) (m) = โมเมนต์ความเฉื่อย (I)
- แรงกระทำ (F) = ทอร์ก (Ʈ)
- โมเมนตัมเชิงเส้น (P) = โมเมนตัมเชิงมุม (L)
อ้างอิงจาก
สรุปจาก หนังสือ คัมภีรืฟิสิกส์ สำนักพิมพ์ พ.ศ.พัฒนา
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น